miércoles, 21 de octubre de 2009

Introducción

Aunque parezca mentira las matemáticas nos rodean; están presentes en nuestra vida cotidiana. En la naturaleza se dan casos de curiosas proporciones matemáticas que nos dan a entender que éstas están en todas partes. Aún es un misterio que aparezcan en las proporciones de varios objetos ciertos números especiales que se dan sistemáticamente. En este blog hablaremos concretamente de uno de ellos, el número áureo,como podreis ver a continuación.

¿Cuál es el número áureo?

El número áureo es un número irracional representado por la letra griega φ fi.

Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y fue descubierto en la antigüedad. Se le descubrió, además de por la condición de ‘unidad’ sino también por su condición de relación y proporción….Se le llama también divina proporción, número de oro, regla dorada, etc

¿Dónde somos capaces de encontrar el número áureo?

El número áureo o de oro básicamente nos rodea, lo podemos encontrar en la naturaleza, como por ejemplo en las caracolas,

en el ser humano, también aparece en la relación entre las falanges de los dedos y entre la longitud de la cabeza y los hombros.

Investigando hemos podido observar que incluso en la genealogía de las abejas, el número de descendientes en cada generación de una abeja macho o zángano nos conduce a la sucesión de Fibonacci, o incluso en la botánica, en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas… Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos que siguen la razón áurea, como una importancia mística. De esto hablaremos más detalladamente al final del blog.

Sucesión de Fibonacci , ¿qué es? y Relación entre la sucesión de Fibonacci y el número áureo

Es una sucesión infinita de números naturales.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Por ejemplo, 21 = 13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21 = 55. Relación entre la sucesión de Fibonacci y el número áureo: Si cogemos dos números cualesquiera como números de partida y formamos una sucesión de Fibonacci sumando siempre los dos últimos números; empezamos por 3 y 7; la sucesión sería: 3, 7, 10, 17, 27, 44, 71, 115...
Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente:

Cuanto mayores son los términos, los cocientes se acercan más a φ=1,61803....

La sección áurea

La sección áurea es la división armónica de una segmento en media y extrema razón. Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor, como el mayor es a la totalidad. O, si así se prefiere, el todo se divide en dos partes tal que, la razón proporcional entre la parte menor y la mayor, es igual a la existente entre la mayor y el total, es decir, la suma de ambas. Esta proporción se llama proporción áurea.
Ejemplo: Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en el la división indicada anteriormente

Aplicando la proporción áurea obtenemos la siguiente ecuación que tendremos que resolver:

Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es x=
Lo sorprendente ahora es calcular el valor que se obtiene al dividir el segmento mayor entre el menor.

Es decir, la relación entre las dos partes en que dividimos el segmento es el número de oro.

Rectángulo áureo

Un rectángulo áureo es aquel en que sus lados están en razón áurea, es decir, que es de alguna forma armonioso. Lo podemos representar dibujando un cuadrado y marcando el punto medio de uno de sus lados tomamos con un compás la distancia hasta uno de los vértices superiores y con un arco llevamos esta medida a la prolongación de la base.

De esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo este rectángulo ampliado es áureo, como también la ampliación, si suprimimos el cuadrado inicial, tiene esta misma proporción: = fi Pues, si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale por lo que la proporción entre los dos lados es:
Por lo que nuevamente nos encontramos con el número áureo.

Relación entre Pitágoras, la estrella pentagonal y el número áureo

Según la tradición, la estrella pentagonal era un símbolo de los seguidores de Pitágoras. Ellos pensaban que el mundo estaba configurado por un orden numérico, donde sólo existían los números fraccionarios. El azar decidió que dentro de este símbolo se encontrara este número tan inusual: fi

El número fi se encuentra: Por ejemplo, en la relación entre la diagonal del pentágono y su lado.

También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP están en proporción áurea.

El número áureo y sus aplicaciones en el arte

Este apartado es quizás el que más curiosidad despierte. Pues la idea de que exista un número que haga las cosas estéticamente bellas nos seducen. Es por ello que lo hemos dejado para el final. Los historiadores han barajado la posibilidad de que el hombre conociera este número y lo usara intencionadamente para crear obras que estéticamente sedujeran al resto aunque eso es aún incierto. Igualmente este número, el número de oro, aparece en las proporciones que guardan edificios, esculturas, cuadros… A continuación introduciremos algunos ejemplos de esculturas, edificios… en donde aparecen este intrigante número: El alzado del partenón es un ejemplo de rectángulo áureo:

En la figura se puede comprobar que AB/CD= , AC/AD= y CD/CA= . En una cultura anterior a la griega también apareció el número de oro. En La Gran Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es 2 .

Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor.

Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en las tarjetas de crédito, en nuestro carnet de identidad y también en las cajetillas de tabaco.

Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo daVinci. En el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509; se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.

El cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico.

La espiral logarítmica

Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.

Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantienen invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.

A continuación os dejamos la conclusión que nuestro grupo a sacado haciendo este trabajo, esperemos que coincidais en algo con nosotras. Realmente el número áureo es fascinante, ya que está presente en numerosas partes de nuestra vida cotidiana y al que, durante miles de años, se le ha estudiado. Aún después de tantos años sus propiedades intrigan a los matemáticos y a lo creadores de obras artísticas que aún hoy lo siguen utilizando, incluso a adolescentes que ni siquiera sabíamos de su existencia, en este caso concreto nosotras. Por lo que, creemos que nunca deberíamos olvidarlo y tenerlo presente en nuestras mentes sería honrar las memorias de todas aquella personas que quedaron maravilladas con el número y lo estudiaron; permitiéndonos a nosotros disfrutar de sus descubrimientos y hacer de nuestro mundo un lugar más interesante.
Y aquí os dejamos las páginas webs visitadas para hacer este trabajo, esperemos que os halla gustado